k-couples - Olympiades 2021 Exercice 1

Dans cet exercice, on s'intéresse aux couples d'entiers naturels non nuls dont le produit des deux composantes est un multiple de leur somme. Pour  \(k\) entier naturel non nul, on appelle \(k\) -couple tout couple  \((x\,;y)\) d'entiers naturels non nuls tel que  \(x \le y\) et \(xy=k(x+y)\) .
Par exemple,  \((12 \;;60)\) est un \(10\) -couple puisque  \(12 \le60\) et \(12\times 60 = 720 =10\times(12+60)\) .

Partie A - Questions préliminaires

1. Justifier que  \((6\;;30)\) et  \((10\,;10)\) sont des \(5\) -couples, mais que  \((30\;;6)\) et  \((5\;;25)\) n'en sont pas.

2. Pour quelle valeur de l'entier naturel non nul  \(k\) le couple  \((8\,;56)\) est-il un \(k\) -couple ?

3. Existe-t-il un entier naturel non nul  \(k\) tel que  \((3\,;5)\) soit un \(k\) -couple ?

4. Soit  \(m\) et  \(k\) deux entiers naturels non nuls. Montrer que si  \((x\;;y)\) est un \(k\) -couple, alors \((mx\;;my)\) est un \(mk\) -couple.

Partie B - Recherche de certains \(\) k-couples

1. Montrer que, si  \((x\;;y)\) est un 1-couple, alors  \(y-1\) est un diviseur de \(y\) . En déduire qu'il n'existe qu'un seul \(1\) -couple et donner cet unique \(1\) -couple.

2. Soit  \(k\) un nombre premier et soit  \((x\;;y)\) un \(k\) -couple. Montrer que \((x-k)(y-k)=k^2\) . En déduire le nombre de \(k\) -couples.

3. Sachant que \(2\,021=43\times 47\) , dresser la liste de tous les \(2\,021\) -couples.

Partie C - k-points et croix

Le plan est muni d'un repère orthogonal d'origine O.
Pour  \(k\) entier naturel non nul, on appelle \(k\) -point tout point dont le couple de coordonnées est un \(k\) -couple. Dire qu'un point  \(A\) est une croix signifie qu'il existe un entier naturel non nul  \(k\) tel que  \(A\) soit un \(k\) -point. Par exemple, le point de coordonnées  \((12\;;60)\) est une croix puisque  \((12\;;60)\) est un \(10\) -couple.

Le but de cette partie est d'obtenir quelques résultats concernant la répartition des croix dans le plan.

1. Soit  \(x\) et  \(y\) deux entiers naturels non nuls avec \(x\le y\) . Recopier et compléter la fonction Python « \(croix(x,y)\)  » qui teste si  \((x,y)\) est le couple de coordonnées d'une croix.

\(\begin{array}{|}\hline\textsf{def croix(x,y):}\\\qquad \textsf{if}\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots : \textsf{#Compléter ici}\\\qquad\qquad\textsf{return True}\\\qquad\textsf{else:}\\\qquad\qquad\textsf{return False}\\\hline\end{array}\)

On rappelle que l'instruction Python  \(a\%b\) renvoie le reste de la division euclidienne de l'entier  \(a\) par l'entier non nul \(b\) .

La fonction Python «  \(croix(x,y)\)  » ayant été écrite dans un fichier file.py, le programme Python ci-dessous permet d'obtenir le graphique suivant donnant toutes les croix dont l'ordonnée est inférieure à \(100\) .

\(\begin{array}{|}\hline\textsf{from math import*}\\\textsf{from file import croix}\\\textsf{import matplotlib.pyplot}\\\\\textsf{xliste=[ ]}\\\textsf{yliste=[ ]}\\\textsf{for y in range(1,101):}\\\qquad\textsf{for x in range(1,y+1):}\\\qquad\qquad\textsf{if croix(x,y):}\\\qquad\qquad\qquad\textsf{xliste.append(x)}\\\qquad\qquad\qquad\texttt{yliste.append(y)}\\\textsf{matplotlib.pyplot.scatter(xliste,yliste,c='black',marker='x')}\\\texttt{matplotlib.pyplot.show()}\\\hline\end{array}\)

2. On note  \(D\) la droite d'équation  \(y=x\) et  \(P\) la parabole d'équation \(y=x^2-x\) . Montrer que, pour tout entier naturel non nul \(k\) , la droite  \(D\) et la parabole  \(P\) contiennent chacune un \(k\) -point.

3. Montrer que, si le point  \(\text A\) est une croix, alors la droite  \((\text O\text A)\) contient une infinité de croix.

4. Montrer que toute droite passant par  \(0\) et de coefficient directeur appartenant à  \(\mathbf{Q}\;\cap\;[1; +\infty[\) contient une infinité de croix.